如果把一个自然数的所有的约数（本身不在内）加起来能恰好等于这个数时，这样的自然数就叫完全数。例如28除掉本身之外有5个约数，那就是1、2、4、7、14，而，1+2+4+7+14=28，28就是完全数。最小的完全数是6（1+2+3），古代意大利把6看作是属于爱神维纳斯的数，象征美满的婚姻。
    早在欧几里得时期就知道完全数可由公式N=（2n-1）（2n—1）给出。这里的第二个因子2n—1必须是个素数。
    奇怪的是，所有已发现的完全数都是以6或28结尾的。到目前为止，所有的完全数都是偶数，甚至连一个奇完全数都未发现过，可是也仍然未能证明奇完全数是不存在的。 

 

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完全数（Perfect number，又称完美数）是一些特殊的自然数。

 

【定义】
　　若一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数。
　　例如，
　　6=1+2＋3
　　28=1＋2＋4＋7＋14
　　496=1+2+4+8＋16+31+62＋124+248
　　8128=1＋2＋4+8＋16＋32+64＋127+254＋508+1016＋2032+4064
　　对于“4”这个数，它的真因子有1、2，其和是3。由于4本身比其真因子之和要大，这样的数叫做盈数。对于“12”这个数，它的真因子有1、2、3、4、6，其和是16。由于12本身比其真因子之和要小

，这样的数就叫做亏数。那么有没有既不盈余，又不亏欠的数呢？即等于它自己的所有真因子之和的数，这样的数就叫做完全数。

 

【性质】
　　完全数有许多有趣的性质：
　　⒈它们都能写成连续自然数之和。
　　如：6 = 1+2+3；
　　28 = 1+2+3+4+5+6+7；
　　496 = 1+2+3+……+30+31；
　　……
　　⒉它们的全部因数的倒数之和都是2,因此每个完全数都是调和数。
　　如：1/1+1/2+1/3+1/6=2；
　　1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2；
　　……

 

【历史】
　　公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”不过，或许印度人和希伯来人早就知道它们的存在了。有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，他们指出，创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。圣·奥古斯丁说：6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实恰恰相反，因为这个数是一个完数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了，即使没有上帝创造世界这种事，6仍旧不失其为完数。
　　完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。它很久

以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字。接下去的两个完数看来是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：也许是这样：正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以盈数和亏数非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里只有一个6；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴上，接近一万，是8128。它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数。第五个完全数要大得多，是33550336，它的寻求之路也艰难得多，直到十五世纪才由一位无名氏给出。这一寻找完全数的努力从来没有停止。电子计算机问世后，人们借助这一有力的工具继续探索。笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。”时至今日，人们一直没有发现有奇完全数的存在。于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难题。目前，只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条件。

 

【疑难问题】
　　⑴到底有多少完全数？寻找完全数并不

是容易的事。经过不少数学家研究，到目前为止，一共找到了46个完全数。
　　⑵有没有奇完全数？奇怪的是，已发现的46个完全数都是偶数，会不会有奇完全数存在呢？如果存在，它必须大于10^300。
　　至今无人能回答这些问题。
　　尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12p + 1或36p + 9的形式，其中p是素数。在10^18以下的自然数中奇完全数是不存在的。

 

【完全数公式】
　　大数学家欧几里德曾推算出完全数的获得公式：如果2^p-1质数，那么(2^p-1)2^(p-1)便是一个完全数。p=2，2^p-1=3是质数，(2^p-1)2^(p-1)=3X2=6，p=3，2^p-1=7是质数，(2^p-1)2^(p-1)=7X4=28但是2^p-1什么条件下才是质数呢?
　　当2^p-1是质数的时候，称其为梅森素数！顾名思义，就是梅森第一个系统地研究这种形式的素数的！事实上，至今，人类只发现了46个梅森素数，也就是只发现了46个完全数。
　

前10个完全数
　　6
　　28
　　496
　　8128
　　130816
　　2096128
　　33550336
　　536854528
　　8589869056
　　137438693128